In meiner Schulzeit habe ich viele Stunden mit dem Trompetenspielen verbracht. Wenn es Abend wurde und die Sonne unterging, konnte ich meine Töne von einem etwa 500 Meter entfernten Schulgebäude widerhallen hören. Damals habe ich mich oft gefragt, warum ich diese fernen Echos erst nach Sonnenuntergang hören konnte. In diesem Blog-Beitrag wird dieses rätselhafte Phänomen erklärt und mithilfe der Software COMSOL Multiphysics® und ihrer einzigartigen Raytracing-Methode simuliert.
Schallbrechung aufgrund von Temperaturgradienten
Inzwischen weiß ich, dass die Ursache für dieses Klangphänomen in der Veränderung der Temperaturverteilung in der Atmosphäre liegt. Allgemein nimmt die Temperatur mit zunehmender Höhe ab. Aufgrund ihrer Temperaturabhängigkeit wird in diesem Fall die Schallgeschwindigkeit in der Luft mit zunehmender Höhe langsamer. Die Schallgeschwindigkeit in der Luft c_0 wird durch das folgende ideale Gasmodell gut beschrieben.
\gamma, R_{\rm{const}}, T und M_{\rm{n}} stehen jeweils für die Verhältnisse der spezifischen Wärme, die universelle Gaskonstante, die Temperatur und die molare Masse. Das ideale Gasmodell geht von trockener Luft aus, aber im Allgemeinen hängt die Schallgeschwindigkeit in der Luft auch von der relativen Luftfeuchtigkeit ab. Das Kalibrierungskoppler-Modell veranschaulicht die Schallgeschwindigkeit in feuchter Luft. Gemäß dem Snellius-Gesetz tritt bei einer Schallwelle, die auf die Schnittstelle zwischen dem Bereich mit langsamerer Schallgeschwindigkeit und dem Bereich mit schnellerer Schallgeschwindigkeit trifft, eine gebrochene Welle mit einem kleineren Brechungswinkel als der Einfallswinkel auf:
Eine Schallbrechung an der Schnittstelle zwischen dem Bereich mit der langsameren und dem Bereich mit der schnelleren Schallgeschwindigkeit.
Im kontinuierlichen gradierten Temperaturfeld unter Standardatmosphärenbedingungen werden Töne also nach oben gebrochen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.
Beispiel für die Ausbreitung von Schallstrahlen während des Tages. Die Linien stellen die Schallstrahlen dar und die Hintergrundfarbe stellt das Temperaturfeld dar, wobei die Temperatur zum Boden hin ansteigt.
Schallwellen, die sich in der Atmosphäre ausbreiten, verschwinden meist im Himmel. Es kann jedoch zu einer Temperaturinversion kommen, wenn die Wärmestrahlung der Erdoberfläche die von der Sonne empfangene Wärme übersteigt, wie in der Nacht. Diese Inversion bricht den Schall nach unten, wie nachfolgend dargestellt.
Beispiel für die Ausbreitung von Schallstrahlen bei Nacht.
Aufgrund der umgekehrten Richtung der Schallausbreitung sind Geräusche nachts aus größerer Entfernung zu hören. Die genaue Modellierung dieses Phänomens ist für die Geräuschanalyse im Freien von entscheidender Bedeutung, da die unterschiedlichen Schallübertragungseigenschaften die Berechnungsergebnisse von Faktoren wie dem Geräuschpegel im Freien und der Sprachverständlichkeit stark beeinflussen.
Raytracing-Methoden eignen sich für die Simulation der Schallausbreitung in großen Außenräumen, da sie im Gegensatz zu druck- oder wellenbasierten Methoden kein feines räumliches Netz erfordern, das die Wellenlänge auflöst. Bei der Standard-Raytracing-Methode ändern sich die Strahlrichtungen jedoch nur, wenn Strahlen auf einen Rand treffen, der eine Reflexions- oder Brechungsbedingung aufweist. Um die glatten, gebrochenen Schallstrahlwege in der Atmosphäre zu berechnen, müssen die verschiedenen Ränder, von denen jeder die Brechungsbedingung beschreibt, manuell festgelegt werden. Dieser Prozess kann zeitaufwendig werden und oft ist unklar, welche Einstellungen sinnvoll sind. Die auf dem Hamilton-Verfahren basierende Raytracing-Methode, die in COMSOL Multiphysics® implementiert ist, eignet sich gut für die Schallanalyse im Freien, da sie Strahlentrajektorien in gradierten Medien genau und inhärent modellieren kann.
Weitere Informationen über die Fähigkeiten des in COMSOL Multiphysics® verwendeten Raytracing-Algorithmus finden Sie in unserem Blog-Beitrag „How Does the Choice of Ray-Tracing Algorithm Affect the Solution?“ Diese Methode eignet sich auch für die Modellierung der Ozeanakustik, wie zum Beispiel in dem Tutorial-Modell Underwater Ray Tracing in a 2D Axisymmetric Geometry, wo die Schallgeschwindigkeit von der Tiefe abhängt.
Im Folgenden werden wir das Interface Ray Acoustics verwenden, um die verschiedenen Schallstrahlentrajektorien zu berechnen, die tagsüber und nachts im Freien auftreten.
Modellierung von Echos
Mit COMSOL Multiphysics® können wir das Echo meiner Trompete von dem 500 m entfernten Gebäude simulieren. Um zu bestätigen, dass das Echo nur nachts wahrnehmbar ist, wurde die Simulation unter zwei Temperaturbedingungen durchgeführt.
Eine Trompete, wie sie der Blog-Autor in der Schule zum Üben benutzt hat. Bild von Ballista und lizenziert unter CC BY-SA 4.0 über Wikimedia Commons.
Die Simulation besteht aus den folgenden Schritten:
- Berechnung eines Temperaturfeldes mit dem Interface Heat Transfer in Fluids
- Berechnung der Strahlungsrichtwirkung der Trompetenglocke mit dem Interface Pressure Acoustics, Frequency Domain
- Berechnung der Schallausbreitung im Freien mit dem Interface Ray Acoustics
Modellgeometrie und vergrößerter Quellbereich.
Die obige Abbildung zeigt die Modellgeometrie. Das Schulgebäude wird durch den weißen, offenen rechteckigen Raum dargestellt. Die Form des Bodens wurde mithilfe von Höhendaten erstellt.
Die Simulation nimmt an, dass der Klang von der Trompetenglocke ausgeht und dass sich der Spieler in der Nähe der Glocke befindet (der Standort des Trompetenspielers wird zur Berechnung der Impulsantworten verwendet). Die Abbildung zeigt auch den vergrößerten Quellbereich, der in Schritt 2 beschrieben wird.
Schritt 1: Analyse des Wärmetransports
Im ersten Schritt wurden dem Boden zwei Temperaturbedingungen zugewiesen: 25°C am Tag und 9°C in der Nacht, während die Temperatur des Himmels bei 19°C gehalten wurde. Andere Ränder, einschließlich der Oberflächen des Schulgebäudes, wurden als Randbedingungen Thermal Insulation festgelegt. Die folgende Abbildung zeigt die Temperaturfelder bei Tag und bei Nacht.
Temperaturfelder bei Tag und bei Nacht.
Tagsüber ist die normale Temperaturverteilung in vertikaler Richtung zu sehen — der obere Bereich ist kälter. Nachts zeigt sich die Inversion — der obere Bereich ist wärmer.
Schritt 2: Analyse der Druckakustik
Im zweiten Schritt wird die Strahlungsrichtwirkung des Schalls modelliert. Im Beispiel wurde nur die von der Glockenform abgeleitete Richtungwirkung berücksichtigt; etwaige Verluste wurden nicht modelliert. Die Glockenform wurde als Exponentialhorn mit einer Grenzfrequenz von 1200 Hz unter Verwendung der Bedingung Interior Sound Hard Boundary (Wall) modelliert. Der Querschnittsradius des Exponentialhorn, r, wächst mit der folgenden Gleichung:
wobei
f_{\rm{c}} ist die Grenzfrequenz und c ist die Schallgeschwindigkeit. Die Raumvariable wird dargestellt durch x. Die obige Gleichung ist eine zweidimensionale Version (unter der Annahme einer gleichmäßigen Dicke in der Richtung aus der Ebene heraus). Bei einem tatsächlichen dreidimensionalen Exponentialhorn wächst die Querschnittsfläche mit e^{mx}.
In diesem Schritt wurde nur der innere Bereich des Kreises unter Verwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) mit Abschneiden durch Perfectly Matched Layers (PML) modelliert. Als Anregung wurde eine Randbedingung Normal Acceleration von 1 m/s2 am Einlass der Glocke festgelegt. Um die in Schritt 1 ermittelten Temperaturfelder zu wechseln, wurde der Studienschritt Paramatric Sweep mit dem Wechselparameter „Ns“ verwendet. Die folgenden Screenshots zeigen die Einstellungen des Studienschritts Frequency Domain und des Studienschritts Parametric Sweep.
Die Einstellungen des Studienschritts Frequency Domain (links) und des Studienschritts Parametric Sweep (rechts).
Das Strahlungsmuster des Exponentialhorns, berechnet unter Tagesbedingungen (links) und Nachtbedingungen (rechts).
Die obige Abbildung zeigt das Strahlungsmuster der Glocke in zwei Temperaturfeldern bei 125 Hz, 1000 Hz und 4000 Hz. Die Richtwirkung wird mit zunehmender Frequenz spitzer. Die Strahlungsintensität bei hohen Frequenzen ist oberhalb der Grenzfrequenz geringer. Außerdem ist zu erkennen, dass Temperaturfelder nur geringe Auswirkungen auf die Richtwirkung haben.
Schritt 3: Analyse der Strahlenakustik
Im dritten Schritt wird mit dem Temperaturfeld aus Schritt 1 und der Richtwirkung der Glocke aus Schritt 2 die Strahlenverfolgung des Schalls durchgeführt. Mit der Raytracing-Methode in COMSOL Multiphysics® lässt sich eine Impulsantwort in gradierten Medien leicht berechnen. Wählen Sie, wie nachfolgend dargestellt, Compute intensity and power in graded media aus der Liste unter Intensity Computation im Interface Ray Acoustics aus.
Die Einstellungen von Intensity Computation im Interface Ray Acoustics.
Die Bedingung Mixed diffuse and specular reflection des Knotens Wall wurde auf die Ränder am Boden und am Gebäude angewendet, während die Bedingung Disappear des Knotens Wall den anderen Rändern zugewiesen wurde, um einen nicht reflektierenden Rand zu modellieren. Allen reflektierenden Rändern wurde eine Spiegelreflexionswahrscheinlichkeit von 0,95 zugewiesen. Unter der Annahme, dass der Untergrund dick ist, wurde für die Schallabsorptionsmodellierung des Bodens das folgende angenäherte Impedanzmodell von Wilson verwendet.
Dabei ist z_{\rm{n}} die normalisierte Oberflächenimpedanz des Bodens. Die Luftdichte und der Strömungswiderstand werden jeweils durch \rho und \sigma angegeben. Die imaginäre Einheit und die Kreisfrequenz werden jeweils durch j und \omega angegeben. In dieser Simulation wurde der Strömungswiderstand auf 440 kPa s/m2 eingestellt. Der Plot des Absorptionskoeffizienten des Bodens bei normaler Inzidenz ist nachfolgend dargestellt.
Absorptionskoeffizient des Bodens bei normaler Inzidenz.
Auf die Oberflächen des Schulgebäudes wurde ein Absorptionskoeffizient von 0,05 angewendet. Mithilfe des Features Release from Boundary wurde die Strahlungsrichtwirkung der Glocke berücksichtigt.
Einstellungen für das Feature Release from Boundary.
Der Blog-Beitrag „Impulsantwort eines kleinen Smart Speakers in einem Raum“ bietet weitere Informationen zum Feature Release from Boundary. In diesem Blog-Beitrag wird auch das Feature Release from Pressure Field behandelt, das eine stärker automatisierte Methode zur Einrichtung der Quelle in 3D-Modellen bereitstellt. Hier wird mithilfe des Features Release from Boundary eine manuelle Einrichtung durchgeführt. Um die Studienergebnisse der Quellenberechnung nutzen zu können, wurden die Studienschritte Ray Tracing und Parametric Sweep wie folgt eingerichtet.
Die Einstellungen des Studienschritts Ray Tracing (links) und des Studienschritts Parametric Sweep (rechts).
Ergebnisse des Raytracings
Die folgenden Abbildungen zeigen die Schallstrahlentrajektorien und die Impulsantwort für den Tag. Die Impulsantwort wird vom Empfänger erfasst, der sich an der Position des Trompetenspielers (in der Nähe der Glocke) befindet.
Strahlentrajektorien bei 500 Hz unter Tagesbedingungen; die Farbe der Strahlen gibt ihre Ausbreitungszeit an.
Impulsantwort an der Position des Trompetenspielers bei Tageslicht.
Zur verbesserten Sichtbarkeit wurden die Strahlen, deren Anzahl der Reflexionen 0 beträgt, aus der Abbildung der Strahlentrajektorien ausgeschlossen. Es ist zu erkennen, dass einige Strahlen auf die Gebäudeoberfläche treffen, aber am Himmel verschwinden und nicht zur Position des Trompetenspielers zurückkehren. Die gleiche Tendenz wurde bei anderen Frequenzen bestätigt. Die Impulsantwort an der Position des Trompetenspielers hat das Echo vom Gebäude nicht erfasst. Nachfolgend werden die Schallstrahlentrajektorien und die Impulsantwort an der Position des Trompetenspielers unter Nachtbedingungen dargestellt.
Strahlentrajektorien bei 500 Hz unter Nachtbedingungen.
Impulsantwort an der Position des Trompetenspielers bei Nacht.
Anders als am Tag treffen nachts viele Strahlen auf das Gebäude und werden dann zum Standort des Spielers zurückgeworfen. Die Impulsantwort an der Position des Trompetenspielers enthält auch das Echo vom Schulgebäude. Diese Ergebnisse deuten darauf hin, dass das Schulgebäude nachts lautere Geräusche empfängt. Zur Bestätigung der Differenz wird der gemittelte Schalldruckpegel auf der Oberfläche des Schulgebäudes auf der Seite des Trompetenspielers dargestellt.
Der durchschnittliche Schalldruckpegel auf der Oberfläche des Schulgebäudes auf der Spielerseite.
Hier trug die Abstrahlcharakteristik der Glocke (begrenzt auf 1200 Hz), die durch Kopplung mit FEM (wellenbasierte Methode) modelliert wurde, wesentlich zu den Frequenzcharakteristiken des obigen SPL-Plots bei. Die genaue Modellierung des Schallwegs im gradierten Temperaturfeld zeigt deutlich, dass sich Geräusche nachts besser zum weit entfernten Gebäude ausbreiten als am Tag. Der auf die Gebäudeoberfläche auftreffende Schall war nachts bei 125 Hz bis 2000 Hz um mehr als 5,5 dB lauter. Wenn die Schallquelle nicht eine Trompete ist, sondern etwa Kondensatoreinheiten in einer Fabrik an einer lärmregulierten Landesgrenze, kann dies einen signifikanten Unterschied darstellen.
Abschließend möchte ich mithilfe von Auralisation meine Erfahrung teilen. Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Unterschiede zwischen Tag und Nacht in Bezug auf den Klang an der Position des Trompetenspielers. Im zweiten Beispiel ist das Echo vom Schulgebäude bei Nacht zu hören. Weitere Informationen zur Auralisation finden Sie im Blog-Beitrag „Faltung und Auralisation für die Raumakustik-Analyse“.
Auralisierter Trompetenklang am Tag.
Auralisierter Trompetenklang bei Nacht.
Die Bedeutung von Geräuschregulierung und -kontrolle
Der Blog-Beitrag hat das bekannte Phänomen, dass Geräusche nachts weiter übertragen werden, erklärt und modelliert. Er hat auch gezeigt, wie der in COMSOL Multiphysics® verfügbare Raytracing-Algorithmus besonders gut geeignet ist, um große Schallfelder im Freien zu modellieren und die Schallbrechung zu simulieren, die sich aus den gradierten Medien ergibt. Die Lärmregulierung erfordert nachts in der Regel niedrigere Schallpegel als tagsüber, daher ist es wichtig, die Brechungseigenschaften von Geräuschen in der Atmosphäre bei Nacht zu berücksichtigen. Das Interface Ray Acoustics in COMSOL Multiphysics® kann zur zuverlässigen Vorhersage und Steuerung von Geräuschen im Freien sowie zur Bewertung der Sprachverständlichkeit von Beschallungsanlagen draußen verwendet werden, die in Situationen wie bei der Ansprache großer Menschenmengen oft eine hohe Qualität erfordern.
Die Höhendaten des Geländes wurden aus der Farbhöhenkarte erstellt, die von Geospatial Information Authority of Japan bereitgestellt wird.
Der echofreie Klang wird von The Open AIR Library unter CC BY 4.0 bereitgestellt.
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