Alle Bauingenieure wenden das Saint-Venant-Prinzip aktiv oder unbewusst an. In den meisten Lehrbüchern der Strukturmechanik findet man verschiedene Formulierungen dieses Prinzips, aber seine genaue Bedeutung ist nicht offensichtlich. Das Saint-Venant-Prinzip besagt, dass die genaue Verteilung einer Last weit entfernt vom belasteten Bereich nicht wichtig ist, solange die Resultanten der Last korrekt sind. In diesem Blog-Beitrag werden wir das Saint-Venant-Prinzip näher betrachten, insbesondere im Zusammenhang mit der Finite-Elemente-Analyse (FEA).
Die Geschichte des Saint-Venant-Prinzips
Der französische Wissenschaftler Barré de Saint-Venant formulierte sein berühmtes Prinzip im Jahr 1855, aber es war eher eine Beobachtung als eine strenge mathematische Formulierung:
“Ersetzt man die auf einen kleinen Teil der Oberfläche eines elastischen Körpers wirkenden Kräfte durch ein anderes, statisch äquivalentes System von Kräften, die auf denselben Teil der Oberfläche wirken, so bewirkt diese Umverteilung der Belastung lokal erhebliche Veränderungen der Spannungen, hat aber eine vernachlässigbare Wirkung auf die Spannungen in Abständen, die im Vergleich zu den linearen Abmessungen der Oberfläche, auf der die Kräfte verändert werden, groß sind.”
B. Saint-Venant, Mém. savants étrangers, Bd. 14, 1855.
Porträt von Saint-Venant. Bild gemeinfrei über Wikimedia Commons.
Viele kluge Köpfe auf dem Gebiet der angewandten Mechanik – Boussinesq, Love, von Mises, Toupin und andere – waren daran beteiligt, das Saint-Venant-Prinzip genauer zu formulieren und mathematische Beweise dafür zu liefern. Wie sich herausstellte, ist dies für allgemeinere Fälle recht schwierig, und die Forschung zu diesem Thema ist noch nicht abgeschlossen. (Teilweise wurde heftig diskutiert.)
Ein einfaches Beispiel: Analyse der Spannungen in einem Abstand
Beginnen wir mit einem ganz einfachen Beispiel: eine dünne rechteckige Platte mit einem kreisförmigen Loch in einiger Entfernung von dem belasteten Rand, die axial gezogen wird. Wenn wir uns für die Spannungskonzentration an dem Loch interessieren, wie wichtig ist dann die tatsächliche Lastenverteilung?
Am rechten Rand werden drei verschiedene Arten von Lasten angewandt:
- Eine konstante axiale Spannung von 100 MPa
- Eine symmetrische parabolische Spannungsverteilung mit einer Maximalamplitude von 150 MPa
- Eine zentrierte Punktlast mit den gleichen Resultanten wie in den beiden vorherigen Lastfällen
Wie in den folgenden Diagrammen zu sehen ist, wird die Spannungsverteilung an der Bohrung nicht durch die Art der Lastanwendung beeinflusst. Der Schlüssel hierzu ist natürlich, dass das Loch weit genug von der Last entfernt ist.
Von-Mises-Spannungskonturen für drei Lastfälle.
Eine andere Möglichkeit, dieses Szenario zu visualisieren, ist die Verwendung von Hauptspannungspfeilen. Diese Art der Darstellung hebt das Spannungsfeld als Fluss hervor und macht die Umverteilung anschaulich.
Hauptspannungsdiagramm für die drei Lastfälle. Wenn eine Punktlast verwendet wird, gibt es eine Singularität.
Die grafische Darstellung der Spannung entlang einer Linie zeigt, dass alle drei Fälle in einem Abstand vom Rand zusammenlaufen, der ungefähr der Breite der Platte entspricht.
Spannung entlang der Oberkante als Funktion des Abstands von dem belasteten Rand. Der Abstand ist auf die Breite der Platte normiert.
Wird die Bohrung näher an den belasteten Rand gebracht, ergibt sich eine andere Situation. Der Spannungszustand um die Bohrung hängt nun von der Lastverteilung ab. Noch interessanter ist, dass der Abstand, in dem die drei Spannungsfelder zusammenfallen, nun doppelt so weit von der belasteten Kante entfernt ist. Die Anwendung des Saint-Venant-Prinzips setzt voraus, dass sich die Spannungen frei umverteilen können. Im vorliegenden Fall wird diese Umverteilung durch das Loch teilweise behindert.
Spannung entlang der Oberkante, wobei die Bohrung näher am belasteten Rand liegt.
Das Saint-Venant-Prinzip besagt, dass sich der Spannungszustand in einem Abstand, der die Größenordnung der linearen Dimension der belasteten Fläche hat, nicht verändert. Die zu berücksichtigende belastete Fläche ist jedoch nicht unbedingt die tatsächlich belastete Fläche! Diese Aussage mag seltsam klingen, aber stellen Sie sich das einmal so vor: Wenn das Loch weit entfernt ist, können wir den Spannungskonzentrationsfaktor mit Hilfe eines Handbuchs (in meinem steht 4,32) und nicht mit einer FEA-Lösung berechnen. Der Ansatz des Handbuchs beinhaltet die implizite Annahme, dass die Last gleichmäßig verteilt ist, wie im ersten Lastfall. Selbst wenn also die tatsächliche Last nur auf einen kleinen Teil des Randes aufgebracht wurde, hängt der kritische Abstand in diesem Fall von der Größe des gesamten Randes ab.
Wenn das Problem mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) gelöst wird, kann das Loch beliebig nahe an der Last liegen. Die Grenze wird dadurch bestimmt, dass die Lastverteilung vom physikalischen Standpunkt aus gesehen gut definiert ist. Sobald wir jedoch Annahmen über die Umverteilung machen, gibt es eine implizite Annahme über die Lastverteilung, die von der tatsächlichen abweichen kann.
Null-Resultanten-Systeme und spezifische Verzerrungsenergie
Bislang haben wir gesagt, dass die Spannungen unabhängig von der genauen Last in einem geeigneten Abstand gleich sind. Da wir es hier mit linearer Elastizität zu tun haben, ist es immer möglich, Lastfälle zu überlagern. Wenn man mit Beweisen für das Saint-Venant-Prinzip arbeitet, ist es einfacher, ein Prinzip in diesem Sinne zu formulieren: Die Spannungen, die von einem Lastsystem ohne resultierende Kraft oder Moment verursacht werden, sind klein, wenn sie sich in einem Abstand befinden, der in der gleichen Größenordnung liegt wie die Größe des belasteten Rands.
Wir untersuchen also die Spannung, die durch die Differenz zwischen den beiden Lastsystemen mit gleichen Resultanten verursacht wird. Die meisten modernen Beweise beruhen auf Schätzungen des Abfalls der spezifischen Verzerrungsenergie für ein solches Null-Resultanten-System.
Um auf das obige Problem zurückzukommen, können wir die Differenz zwischen den Lastfällen berechnen. Auf diese Weise können wir das tatsächliche Absinken der spezifischen Verzerrungsenergie für die Differenz der Spannungsfelder untersuchen.
Logarithmus der spezifischen Verzerrungsenergie für Null-Resultanten-Lastfälle.
Die spezifische Verzerrungsenergie entlang der Platte für die Null-Resultanten-Lastfälle. Die Energie wird entlang der vertikalen Richtung integriert, um eine Größe zu erhalten, die nur eine Funktion des Abstands von der Last ist.
Der Abfall des Logarithmus der spezifischen Verzerrungsenergie ist mehr oder weniger linear zu dem Abstand von dem belasteten Rand. Dies entspricht dem, was moderne Beweise vorhersagen: ein exponentielles Absinken der spezifischen Verzerrungsenergie. Wir können auch deutlich sehen, wie das Loch die Absinkrate vorübergehend reduziert.
Anwendung des Saint-Venant-Prinzips auf dünne Strukturen
Es ist bekannt, dass das Saint-Venant-Prinzip auf dünne Strukturen wie Schalen, Balken und Gerüste nicht auf die gleiche Weise angewendet werden kann wie auf ein “massiveres” Objekt. Störungen legen größere Entfernungen zurück, als wir erwarten, weil die Lastpfade in einer dünnen Struktur viel begrenzter sind. Dies ist das gleiche Phänomen, das wir bei dem Loch im obigen Beispiel beobachten können, nur etwas ausgeprägter.
Hier untersuchen wir einen Balken mit einem Standard-IPE100-Querschnitt. Das Ende des Balkens wird einer axialen Spannung mit einer Amplitude ausgesetzt, die in beiden Querschnittsrichtungen linear verteilt ist.
Lastverteilung, dargestellt als Konturen und Pfeile.
Aufgrund der Symmetrien hat diese Last eine Kraft mit Null Resultanten sowie ein Moment von Null um alle Achsen. Die Höhe des Querschnitts beträgt 100 mm. Wenn also die Standardform des Saint-Venant-Prinzips angewendet werden kann, dann sollten die Spannungen in einem Abstand von etwa 100 mm vom Endabschnitt gering sein.
Vergleichsspannung in einem Balken. Die rote Kontur zeigt Stellen, an denen die Spannung weniger als 5 % der maximalen angewandten Spannung ausmacht.
Wie sich herausstellt, müssen wir fast einen Meter entlang des Balkens zurücklegen, damit die Spannung unter 5 % der maximalen angewandten Spannung liegt. Die Lastumverteilung ist hier also viel weniger effizient, da der Ausgleich zwischen Ober- und Unterbund eine Momentübertragung über den dünnen Steg erfordert.
Wenn Sie mit der Theorie der ungleichförmigen Torsion von Trägern (d.h. der Warping-Theorie oder der Vlasov-Theorie) vertraut sind, werden Sie feststellen, dass die aufgebrachte Last ein ausgeprägtes Bimoment hat. Das Bimoment ist eine Querschnittsgröße mit der physikalischen Dimension Kraft x Länge2.
Vielleicht (dies ist nur meine persönliche Spekulation) sollte ein wirksames Saint-Venant-Prinzip für diesen Fall nicht nur Kraft und Moment, sondern auch ein Bimoment von Null erfordern. Dies kann durch Hinzufügen von vier Punktlasten erreicht werden, die ein entgegengesetztes Bimoment erzeugen. Das Ergebnis einer solchen Analyse ist unten dargestellt.
Vergleichsspannung mit vier Punktlasten, die ebenfalls ein Bimoment von Null ergeben. Die 5 % Spannungskontur liegt nun viel näher an dem belasteten Rand.
Die aufgebrachten Punktlasten, die absichtlich nicht optimal platziert sind, führen zu extrem hohen (singulären) lokalen Spannungen. Die Spannungen nehmen jedoch viel schneller ab und liegen nach etwa 100 mm unter 5 %. Der Grenzwert von 5 % bezieht sich noch immer auf die aufgebrachte verteilte Last, wird also nicht an die neuen lokalen Spannungen angepasst. Die logarithmische Abfallrate der spezifischen Verzerrungsenergie ist dreimal so schnell, nachdem die Punktlasten hinzugefügt wurden.
Das Saint-Venant-Prinzip in der Finite-Elemente-Analyse
In einigen Fällen kann man intuitiv davon ausgehen, dass das Saint-Venant-Prinzip auf ein diskretisiertes FE-Problem anwendbar ist. Hier betrachten wir verteilte Lasten und nichtkonforme Netze.
Verteilte Lasten
Im FE-Modell werden Lasten immer an den Netzknoten aufgebracht, auch wenn Sie sie als kontinuierliche Randlast angeben. Die Last wird intern nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit auf die Knoten des Elements verteilt, wie im folgenden Beispiel zu sehen ist.
Eine linear verteilte Last an einem Knoten eines Lagrange-Elements zweiter Ordnung mit der Seitenlänge L.
Es gibt jedoch unendlich viele Lastverteilungen, die zu den gleichen Knotenlasten führen, solange sie die gleiche Kraft und das gleiche Moment haben. Natürlich ist die Lösung des Finite-Elemente-Problems für alle diese Fälle gleich. Aus dem Saint-Venant-Prinzip lässt sich jedoch ableiten, dass alle diese Lasten im Wesentlichen das gleiche Spannungsfeld ergeben sollten, sobald wir uns in einiger Entfernung befinden.
Da die Größe der Fläche, über die wir die Lasten umverteilen, eine Elementfläche ist, ist die lineare Dimension, nach der es keinen Unterschied mehr gibt, im Wesentlichen eine Elementschicht innerhalb der Struktur. Daher entspricht die Lösung in der äußersten Schicht der Elemente möglicherweise nicht der tatsächlichen Belastung, weiter innen jedoch schon.
Als Beispiel kann eine rechteckige Platte mit einer Randbelastung mit exponentieller Spannungsverteilung belastet werden. Die mit einem feinen Netz berechnete Spannung ist unten dargestellt.
Konturendarstellung der axialen Spannungsverteilung.
Aufgrund des Saint-Venant-Prinzips wird das Spannungsfeld in einiger Entfernung von dem belasteten Rand in einen reinen Biegezustand umverteilt, so wie wir es erwarten würden. Dies ist jedoch nicht das Ziel der vorliegenden Diskussion. Vielmehr soll der Unterschied zwischen der obigen Spannungsverteilung und dem Ergebnis mit einigen groben Netzen untersucht werden.
Fehler in der axialen Spannung für drei verschiedene Netze. Beachtenswert sind die verschiedenen Skalen. Wie erwartet ist der Fehler geringer, wenn das Netz feiner ist.
Wie in der Abbildung zu sehen ist, nimmt der Fehler nach der ersten Elementschicht schnell ab. Was wir hier sehen, ist eigentlich eine Kombination aus Netzkonvergenz und der Umverteilung von Spannungen, die durch das Saint-Venant-Prinzip impliziert wird.
Nichtkonforme Netze
Ein nichtkonformes Netz entsteht, wenn die Formfunktionen in zwei verbundenen Elementen nicht übereinstimmen. Der häufigste Fall ist, dass eine Baugruppe mit Hilfe von Identitätspaaren und Kontinuitätsbedingungen verbunden wird. Um dies zu verdeutlichen, können wir uns einen geraden Stab mit einem absichtlich nicht übereinstimmenden Netz ansehen. Mit einem einfachen Lastfall wie einachsiger Spannung können wir die durch den Übergang verursachten Spannungsstörungen untersuchen.
Axiale Spannung am Übergang nichtkonformer Netze. Es werden Elemente zweiter Ordnung verwendet.
Die von den Knoten an den beiden Seiten übertragenen Kräfte stimmen nicht mit der Annahme einer konstanten Spannung überein. Auch dies kann als eine lokale Lastenumverteilung über eine Fläche von der Größe des Elements betrachtet werden. Nach der Argumentation von Saint-Venant sollte die Störung in einem “elementgroßen” Abstand vom Übergang abklingen. Untersuchen wir nun, was passiert, wenn das Netz in axialer Richtung verfeinert wird.
Bereich mit über 0.1% Fehler der Spannung. Es werden drei verschiedene Diskretisierungen in axialer Richtung verwendet.
Es stellt sich heraus, dass der Bereich der Störung durch die Diskretisierung in der Richtung senkrecht zur Übergangsgrenze kaum beeinflusst wird. Das ist genau das, was uns das Saint-Venant-Prinzip sagt.
Abschließende Bemerkungen
Ohne die Anwendung des Saint-Venant-Prinzips sind viele Strukturanalysen nur schwer durchführbar, einfach weil die genaue Lastenverteilung nicht bekannt ist.
Formal gilt das Prinzip nur für linear elastische Materialien. In der Praxis wenden wir es täglich intuitiv für andere Situationen an. Wäre das Material in dem Beispiel der Platte mit einem Loch elastoplastisch, würden wir erwarten, dass die beiden verteilten Lasten äquivalente Ergebnisse liefern, solange die Fließspannung größer ist als die Spannung am Rand, so dass die plastische Verformung nur um das Loch herum auftritt. Die Punktlast führt jedoch immer zu einer anderen Lösung, da das Material um den belasteten Punkt herum nachgibt.
Eine ausführlichere Diskussion finden Sie in diesem Blogbeitrag über Singularitäten bei Punktlasten.
Nächste Schritte
Erfahren Sie mehr darüber, wie Sie die COMSOL Multiphysics® Software für FEA nutzen können.
Literatur
- Y.C. Fung and P. Tong, Classical and Computational Solid Mechanics, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2001.
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