Vom Spektrum zur Farbe: Die Herstellung von rotem Glas mithilfe von Modellierung verstehen

In diesem Blog-Beitrag untersuchen wir, wie ein Transmissions- oder Absorptionsspektrum in eine Farbe umgewandelt werden kann, die vom menschlichen Auge wahrgenommen oder auf einem Computerbildschirm angezeigt werden kann. Die Umwandlungen werden hier anhand von Goldnanopartikeln veranschaulicht, die Glas, in dem sie verteilt sind, rot färben.

Wie Glas gefärbt wird

In der Optik begegnen uns häufig Transmissions-, Reflexions- und Absorptionsspektren, aber meistens achten wir nicht darauf, wie ein Material mit einem bestimmten Spektrum für unsere Augen aussehen würde. Bei der Arbeit mit Farben und Farbstoffen müssen wir jedoch das visuelle Erscheinungsbild eines Materials berücksichtigen.

Da bei der Glasverarbeitung sehr hohe Temperaturen erforderlich sind, können organische Farbstoffe aus der Kunststoffindustrie nicht zum Färben von Glas eingesetzt werden, weil sie der Hitze nicht standhalten. Im Wesentlichen gibt es zwei Ansätze, um klares Glas homogenen zu tönen (obwohl es viele weitere Ansätze zur Herstellung von opaken oder opaleszierenden Gläsern sowie zum Färben durch Beschichtungen gibt):

• Auflösung von Metallionen mit Absorptionsbanden im sichtbaren Bereich im Glas (z. B. Eisen(II)-Ionen ergeben Grüntöne)
• Striking, also das Verteilen von Nanopartikeln im Glas, die im sichtbaren Bereich stark streuen und/oder absorbieren

Der erste Ansatz ist wesentlich einfacher, aber es gibt keine ausreichend stabilen Metallionen, die grünes Licht absorbieren (was zu einem Rotton führen würde). Daher müssen Rottöne durch Striking erzeugt werden. Striking-Gläser werden im Allgemeinen hergestellt, indem zunächst eine Substanz, etwa ein Metall, in der Glasschmelze aufgelöst wird. Anschließend wird die Substanz durch sorgfältig entwickelte Wärmebehandlungen in Nanopartikel der gewünschten Größe ausgefällt. Da Streuung und Absorption, wie wir gleich sehen werden, stark von der Partikelgröße (und -form) abhängen, kann der Farbton durch Anpassung der Wärmebehandlungen bis zu einem gewissen Grad beeinflusst werden.

Eine Schale aus Cranberry-rotem Glas, auch einfach als „Cranberry-Glas“ bekannt. Foto von PetitPoulailler, lizenziert unter CC BY 2.0 über Wikimedia Commons.

Um rotes Striking-Glas zu erhalten, ist der heute gängigste Ansatz die Ausfällung von Selen-Nanopartikeln mit Cadmium (bekannt als „Selen-Rubinglas“), doch früher war der einzige bekannte Ansatz die Verwendung von elementarem Gold. In den folgenden Abschnitten verwenden wir die Software COMSOL Multiphysics^®, um zu untersuchen, wie sich der Radius der Goldnanopartikel auf den Farbton des dadurch entstehenden Striking-Glases auswirkt.

Ermittlung eines Spektrums aus Streuberechnungen

Das Wave Optics Module, ein Add-On zu COMSOL Multiphysics^®, eignet sich perfekt, um zu untersuchen, wie das Transmissionsspektrum eines Striking-Glases mit Goldnanopartikeln von der Größe der Partikel abhängt. Tatsächlich können wir das Transmissionsspektrum durch einige einfache Modifikationen am Tutorial-Modell Optische Streuung an einer Gold-Nanosphäre ermitteln. Nachdem wir den Brechungsindex der das Teilchen umgebenden Gebiete auf den von Glas eingestellt haben, müssen wir die Variablen definieren, die für die Ermittlung des Transmissionsspektrums erforderlich sind. Zunächst berechnen wir die Streu- und Absorptionsquerschnitte

und

und ihre Summe, den Extinktionsquerschnitt \sigma _\mathrm{ext} = \sigma _\mathrm{sca}+\sigma _\mathrm{abs}, der der Gesamtdämpfung bei der Transmission entspricht. In den obigen Gleichungen ist I_0 die einfallende Intensität, \mathbf{S}_\mathrm{sca} ist der Poynting-Vektor des Streufeldes und Q ist die Verlustleistungsdichte. Die beiden Integrale werden über die Teilchenoberfläche bzw. das Teilchenvolumen berechnet. Diese Berechnungen können einfach durch Hinzufügen des in COMSOL Multiphysics^® Version 6.3 eingeführten Features Cross Section Calculation durchgeführt werden, das die drei oben definierten Streuquerschnitte als vordefinierte Variablen zur Verfügung stellt.

Das Feature Cross Section Calculation verwaltet alle Einstellungen, die für die Berechnung der Querschnitte erforderlich sind.

Abschließend wird ein Sweep in Bezug auf den Teilchenradius und die Wellenlänge durchgeführt und die Ergebnisse werden in einem Plot dargestellt. Der Extinktionsquerschnitt ist im folgenden Plot zu sehen.

Der Extinktionsquerschnitt von in Glas verstreuten Goldnanopartikeln (Au) für verschiedene Teilchenradien.

Die Ergebnisse zeigen, dass die Gesamtwirkung umso stärker ist, je größer die Nanopartikel sind. Um die Partikel größer zu machen, ist jedoch mehr Gold erforderlich. Wir möchten aber die intensivste Farbe mit der geringstmöglichen Menge an Gold erzielen. Zu diesem Zweck normalisieren wir die Ergebnisse, indem wir den Extinktionskoeffizienten (auch „optische Dichte“ genannt) \alpha _\mathrm{ext} berechnen:

 
Hierbei sind c_\mathrm{Au}, m_0, r_0 und \rho _\mathrm{Au} jeweils die Massenkonzentration von Gold, die Masse der Nanopartikel, der Radius der Nanopartikel und die Dichte von Gold. Damit der hier gewählte Ansatz gültig ist, müssen die Nanopartikel ausreichend spärlich verteilt sein, so dass wir die Wechselwirkungen zwischen den Partikeln bei der Streuung vernachlässigen können. Der durchschnittliche Abstand zwischen den Partikeln ist durch die inverse Kubikwurzel des in der obigen Gleichung enthaltenen Vorfaktors \sqrt[3]{m_0/c_\mathrm{Au}} gegeben. Für den kleinsten nachfolgend berücksichtigten Partikelradius von 5 nm und eine Au-Massenkonzentration von 0,02 g/l erhalten wir ungefähr 800 nm. Dies ist größer als die längste Wellenlänge, die wir hier berücksichtigen müssen (eine Vakuumwellenlänge von 780 nm entspricht einer Wellenlänge von etwa 500 nm in Glas), sodass die Mehrteilcheneffekte vernachlässigt werden können. Schließlich erhalten wir die Durchlässigkeit als Funktion der Wellenlänge, also das Transmissionsspektrum, aus der Definition von \alpha _\mathrm{ext}:

 
wobei d_0 die Probendicke bezeichnet. Wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist, gibt es ein Optimum: Die intensivste Farbe wird für Partikelradien um 25 nm erzielt.

Durchlässigkeit von 1 cm dickem Glas mit verteilten Au-Nanopartikeln verschiedener Radien bei einer Au-Massenkonzentration von 0,02 g/l.

Umwandlung von Transmissionsspektren in Farbe

Wenn wir Glasproben hätten, die die in der obigen Abbildung gezeigten Transmissionsspektren aufweisen, welche Farben würden sie dann haben? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Tristimuluswerte der Spektren berechnen; dies ist im Wesentlichen eine standardisierte Methode zur Quantifizierung der Antwort der drei Zapfenzelltypen des menschlichen Auges auf ein beliebiges Transmissionsspektrum. Die Werte sind wie folgt:

wobei I(\lambda) das Hintergrundspektrum ist (hier haben wir uns für die Verwendung der CIE-Normlichtart D65 entschieden, die Tageslicht entspricht), und \bar{x}(\lambda), \bar{y}(\lambda) und \bar{z}(\lambda) sind die CIE-Farbabgleichsfunktionen für die verschiedenen Zapfenzelltypen. Hier wird die Normalisierung definiert als

Dies sind die Plots der Farbabgleichsfunktionen und der Lichtart:

Plots mit der Normlichtart D65 (links) und den drei Farbabgleichsfunktionen (rechts).

Wenn wir die Farben auf einem Computerbildschirm anzeigen möchten, müssen wir die Tristimuluswerte mit der folgenden linearen Transformation in sRGB-Werte umwandeln:

kombiniert mit der nichtlinearen Gammakorrektur

wobei C für X, Y oder Z steht. Die folgende Abbildung zeigt eine 3D-Darstellung von Glasmustern mit den aus den obigen Spektren extrahierten Farben.

3D-Darstellung von Glasmustern.

Als letzten Schliff für unser Modell ändern wir außerdem die Plotfarbe jedes Spektrums in die dem Spektrum entsprechende Farbe. Wir können eine einfache Java-Methode im Application Builder verwenden, um den Prozess zu optimieren. Das Endergebnis ist in der folgenden Abbildung zu sehen. Hier zeigt sich, dass die Farbe unseres goldfarbenen Glases tatsächlich durch die Anpassung der Größe der Goldnanopartikel verändert werden kann: Kleinere Partikel dämpfen grüne Wellenlängen und verleihen dem Glas einen roten Farbton, während eine Erhöhung der Partikelgröße die Dämpfung in Richtung orangefarbener Wellenlängen verschiebt, was zu einem Glas mit einem blauen Farbton führt.

Schlussbemerkungen

Anhand der Fallstudie von Goldnanopartikeln, die Glas rot färben, haben wir erfahren, wie man ein Transmissionsspektrum aus einer standardmäßigen Streuberechnung erhält und es dann in eine RGB-Farbe umwandelt, die auf einem Computerbildschirm dargestellt werden kann.

Um praktische Erfahrungen mit dem in diesem Blog-Beitrag beschriebenen Modell zu sammeln, klicken Sie auf die Schaltfläche.

Mehr lernen

Möchten Sie mehr über optische Streuung und das Transmissionsspektrum erfahren? Dann werfen Sie einen Blick auf diese Ressourcen:

• Lesen Sie unseren Artikel im Learning Center, um eine ausführliche Einführung in die Modellierung der optischen Streuung zu erhalten: „Getting Started with Optical Scattering Modeling“.
• Sehen Sie sich ein anspruchsvolleres Beispiel eines Farbfilter-Ersatzmodells, das dieselbe Farbtheorie verwendet, mit unserer Ersatzmodell-Demo Structural Color Filter an.

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