Was wir aus dem Kondensator-Paradoxon lernen können: Existieren Kapazität und Induktivität?

Das Kondensator-Paradoxon ist ein provokantes Gedankenexperiment, das die Grenzen der Modellierung elektrischer Schaltungen aufzeigen soll, und es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, dieses Paradoxon zu lösen. Ich werde eine Lösung vorstellen, die in der Software COMSOL Multiphysics^® modelliert werden kann, und sie dann erweitern, um eine noch provokantere Frage zu stellen und zu beantworten: Existieren Kapazität und Induktivität überhaupt? Legen wir los!

Das Kondensator-Paradoxon

Dieses Gedankenexperiment wird normalerweise wie folgt dargestellt: Stellen Sie sich ein Gerät vor, das aus zwei gleichwertigen Kondensatoren mit der Kapazität C besteht, die parallel geschaltet sind und zwischen denen sich ein offener Schalter befindet. Alle Drähte und Kondensatoren bestehen aus idealen, vollkommen widerstands- und verlustfreien Materialien. Einer der Kondensatoren ist auf ein Potential V_i geladen, so dass die gespeicherte Ladung Q = CV_i ist. Auf dem anderen Kondensator gibt es keine Potentialdifferenz, also hat er auch keine gespeicherte Ladung. Was passiert, wenn Sie den Schalter schließen?

Eine schematische Darstellung des Kondensator-Paradoxons. Ein Kondensator hat eine Potentialdifferenz zwischen den Platten. Was passiert, wenn der Schalter geschlossen wird?

Bei einigen Darstellungen dieses Gedankenexperiments wird behauptet, dass die Ladung des ersten Kondensators in den zweiten fließt, wodurch sich die Potenzialdifferenz am ersten Kondensator verringert und am zweiten erhöht, bis ein stabiler Zustand erreicht ist – zu diesem Zeitpunkt ist die Potenzialdifferenz an beiden Kondensatoren gleich und halb so groß wie V_i, da die gleiche Ladung, Q, nun auf zwei gleichwertige Kondensatoren verteilt ist. Das führt jedoch sofort zu einem Paradoxon, denn die Energie in jedem Kondensator ist W_C = \frac{1}{2} C \Delta V^2. Wenn die Anfangsenergie \frac{1}{2} C V_i^2 und die Endenergie 2 \frac{1}{2} C\left( V_i/2 \right)^2 = \frac{1}{4} C V_i^2 ist, wo ist dann die andere Hälfte der Energie geblieben?

Es gibt viele Lösungen, die sich auf alle möglichen Bereiche berufen, von der Quantenmechanik bis zur Thermodynamik. Vom pädagogischen Standpunkt aus sind diese Lösungen wahrscheinlich alle gültig. Viele von ihnen appellieren jedoch implizit an die Realität, indem sie sagen, dass die Drähte und Kondensatoren einfach einen gewissen Widerstand oder eine gewisse Induktivität haben müssen. Aber warum? Zumindest im Rahmen eines Gedankenexperiments sollte es zulässig sein, von vollkommen verlustfreien Materialien auszugehen und den Widerstand zu vernachlässigen. Aber was ist mit der Induktivität? Können wir die Induktivität im Rahmen dieses Gedankenexperiments vernachlässigen? Wir wollen dieser Frage nachgehen und sehen, ob sie eine interessante Antwort liefert…

Eine einfache Lösung für das Paradoxon

Unser Gerät besteht aus zwei idealen, verlustfreien Kondensatoren. Aber auch ein idealer Kondensator muss seine Ladungen räumlich trennen. Das heißt, ein Kondensator muss eine gewisse Größe haben. Und wenn jeder Kondensator eine Größe hat, dann muss er durch einen Abstand ungleich Null von dem anderen Kondensator getrennt sein. Wenn wir also unser Diagramm ein wenig umzeichnen, sehen wir, dass wir zwei Kondensatoren und zwei Halbschleifen aus verlustfreiem Draht mit endlichem Durchmesser haben, entlang derer ein zeitlich variabler Strom fließen kann. Und als was bezeichnen wir eine solche Struktur? Als Induktivität!

Das Paradoxon lässt sich auflösen, wenn man sich klarmacht, dass die Struktur eine Größe ungleich Null haben muss, wobei der Strom um eine Schleife mit endlicher Fläche fließt, und daher auch eine Induktivität ist.

Die Struktur, die wir hier gezeichnet haben, muss eine endliche Größe haben und daher auch eine Induktivität, sofern sie in unserem Universum existiert, in dem der freie Raum eine magnetische Permeabilität hat. Aus der Tatsache, dass unser Schaltkreis einen Kondensator enthält, folgt also direkt, dass es auch eine Induktivität in dem Schaltkreis gibt. Es wird sogar noch besser: Wenn wir eine Induktivität haben, selbst eine verlustfreie, führt jeder zeitlich veränderliche Strom, der durch sie fließt, zu einem elektrischen Feld, das zwischen den Windungen der Induktivität existiert. Daher wirkt jede Induktivität, die wir zu dieser Schaltung hinzufügen, auch als Kondensator! Wir könnten diese Logik endlos weiterverfolgen, aber für unsere Zwecke reicht es aus, unsere Schaltung mit einer einzigen induktiven Bauelement mit der Induktivität L zu modifizieren.

Wir haben jetzt einen LC-Schaltkreis, und dieser hat eine analytische Lösung, die das Paradoxon sofort aufklärt: Der Strom fließt zwischen den Kondensatoren und entlang der endlich langen Drähte hin und her und oszilliert mit einer Frequenz, die gegeben ist als f=1/\sqrt{2\pi LC}. Es wird nie eine stationäre Lösung geben, so dass wir niemals nur die elektrostatische Energie bewerten können. Wir müssen auch die Energie berücksichtigen, die durch die sich bewegenden Ladungen, d.h. den Stromfluss, I, entsteht, und diese ist gegeben durch: W_L = \frac{1}{2} L I^2. Die Summe aus elektrischer und magnetischer Energie (\frac{1}{2} L I^2 + \frac{1}{2} C V^2) wird sich im Laufe der Zeit nicht ändern.

Verifizierung in der COMSOL Multiphysics^® Software

Es ist ganz einfach, mit COMSOL Multiphysics^® und dem RF Module ein Modell zu erstellen, das diese Situation verifiziert. Dazu verwenden wir das Interface Electromagnetic Waves, Transient zusammen mit dem Interface Electrostatics, um die Anfangsbedingungen zu berechnen. Wir modellieren einen kleinen Bereich mit perfektem Vakuum, in dem sich die Kondensatoren und Drähte befinden. Die Kondensatorplatten, die Drähte und der Raum um unser Volumen herum werden alle als perfekte elektrische Leiter behandelt, was bedeutet, dass die elektromagnetischen Felder keine Ränder durchdringen werden. Eine Anleitung zum Aufbau solcher Modelle für kapazitive Entladung finden Sie in unserem Learning Center Artikel zur Modellierung der kapazitiven Entladung.

Die Lösung dieses Modells im Zeitbereich und die Auswertung der gesamten elektrischen und magnetischen Energie zeigt das erwartete oszillierende Verhalten. Es ist auch möglich, das modellierte Gebiet in verschiedene Bereiche zu unterteilen, um die Gesamtenergie in den Bereichen um die beiden Kondensatoren sowie im umgebenden Raum zu ermitteln. Dieser Plot zeigt, wie die Energie sowohl im Raum als auch in der Zeit oszilliert.

Diese Animation zeigt die Ströme auf der Oberfläche der Kondensatorplatten und Drähte sowie das Magnetfeld im Raum dazwischen.

Die gesamte elektrische und magnetische Energie schwingt mit der Zeit; die Summe ändert sich in diesem verlustfreien Gerät nicht.

Die Summe der elektrischen und magnetischen Energie in verschiedenen Gebieten zeigt, dass die Energie in Zeit und Raum oszilliert.

Wir können feststellen, dass diese Plots zeitlich nicht rein sinusförmig sind, und wir sollten uns fragen, warum das so ist. Woher kommt dieser höherfrequente Inhalt, also die kleinen zeitlichen Energieschwankungen? Sie entstehen durch die Struktur. Es ist ganz klar, dass die beiden Platten eine wohldefinierte Kapazität haben, aber es gibt auch eine Ladungstrennung durch die Drähte, und die gesamte Struktur befindet sich in einem zylindrischen Hohlraum, der eine Resonanzfrequenz hat. Alle diese verschiedenen Teile des Geräts tragen in gewisser Weise zum elektromagnetischen Verhalten bei. Jeder einzelne Beitrag kann recht klein sein, aber er ist immer vorhanden, wenn wir eine Struktur von endlicher Größe betrachten.

Weitere Fragen: Existieren Kapazität und Induktivität?

Es ist nun an der Zeit, eine provokantere Frage zu diesem (oder jedem anderen) elektromagnetischen Gerät zu stellen: Besitzt es eine Kapazität oder eine Induktivität? Wir haben gesehen, dass dieses Gerät beides hat. Aber was wäre, wenn wir das Gerät modifizieren würden, indem wir ein sehr starkes dielektrisches Material zwischen den Kondensatorplatten hinzufügen? Das würde die Kapazität deutlich erhöhen, aber die Induktivität unverändert lassen. Und wenn wir die Kapazität deutlich erhöhen würden, könnten wir dann sagen, dass die Induktivität keine Rolle spielt?

Kurz gesagt: Nein, wir sollten uns ein elektrodynamisches Gerät niemals als rein kapazitiv oder rein induktiv vorstellen. In einem elektrodynamischen Gerät wird es immer elektrische Energie aufgrund der räumlichen Trennung von Ladungen und magnetische Energie aufgrund der Bewegung von Ladungen geben. Obwohl wir manchmal hypothetische Situationen konstruieren können, in denen das eine oder das andere ignoriert werden kann, müssen wir immer bedenken, dass wir damit eine mentale Vereinfachung vornehmen.

Darüber hinaus haben alle realen Materialien auch einen gewissen endlichen Widerstand. Wenn wir also realistischer sein wollen, sollten wir davon sprechen, dass alles eine Impedanz hat – und das ist der Punkt, an dem wir uns manchmal in noch mehr Schwierigkeiten bringen. Wenn wir mit einem Modell im Frequenzbereich arbeiten, gibt es einen bekannten Ausdruck für die Impedanz eines elektrischen Geräts:

 
Der Widerstand, R, in diesem Ausdruck ist ein Maß dafür, wie die kinetische Energie der sich bewegenden Ladungen, d.h. der Strom, in Wärmeenergie umgewandelt wird.

Man erkennt sofort, dass sich diese Gleichung auf einen gedämpften harmonischen Oszillator mit einem Freiheitsgrad bezieht, der eines der am besten untersuchten Probleme des Ingenieurwesens und der Physik darstellt. Wir wissen, dass wir aus diesem Ausdruck die Resonanzfrequenz und den Qualitätsfaktor eines solchen Oszillators berechnen können, und wir wissen, dass reale Geräte eine Grundresonanz und einen Qualitätsfaktor haben. Das verleitet uns dazu, die beiden gleichzusetzen und zu versuchen, ein reales elektrisches Gerät in endlicher Größe auf einen einzigen Widerstand, eine Kapazität und eine Induktivität zu reduzieren. Das ist ein konzeptioneller Fehler und ist niemals gültig, denn der obige Ausdruck für die Impedanz gilt nur für ein Gerät, das eine infinitesimale Größe hat.

Jedes reale Gerät hat eine endliche Größe, und wenn es in Resonanz arbeitet, variieren die elektrische und magnetische Energie in Raum und Zeit, wie wir in den obigen Plots gesehen haben. Daher sind für ein Ersatzschaltungsmodell mindestens drei Knoten erforderlich, manchmal aber auch viel mehr. Wenn wir an unser physikalisches Modell der beiden Kondensatoren zurückdenken und davon ausgehen, dass die Platte jedes Kondensators durch einen Knoten in der elektrischen Schaltung repräsentiert wird, sehen wir, dass die Ersatzschaltung mindestens so komplex sein müsste wie die unten abgebildete Schaltung mit vier Knoten. Beachten Sie, dass parallel zur Induktivität der Drähte eine kleine Kapazität hinzugefügt wurde, da es auch entlang der Drähte eine Ladungstrennung gibt.

Ein Ersatzschaltungsmodell für zwei in Reihe geschaltete verlustfreie Kondensatoren endlicher Größe.

An diesem Beispiel können wir hoffentlich erkennen, dass die Konstruktion einer Ersatzschaltung, die in der Nähe der Resonanz gültig ist, schnell sehr kompliziert werden kann und physikalisches Verständnis, eine gute Portion Erfahrung mit ähnlichen Geräten und numerische Modellierung erfordert.

Um auf die ursprüngliche Frage zurückzukommen, könnte man argumentieren, dass Kapazität, Induktivität und sogar Widerstand Konzepte sind, die für sich allein nicht existieren – sondern nur in Kombination miteinander. Obwohl wir die frequenzabhängige Impedanz eines Geräts manchmal auf einen einzelnen Widerstand, eine Kapazität und/oder eine Induktivität reduzieren können, sind solche Vereinfachungen nur bei Frequenzen unterhalb der Resonanz des Geräts gültig. Wenn wir dies im Hinterkopf behalten, können wir alle möglichen Fallstricke vermeiden, von diesem unterhaltsamen Kondensator-Paradoxon bis hin zu weitaus frustrierenderen und komplexeren realen Problemen.

Abschließende Bemerkungen

Wir haben hier ein klassisches Gedankenexperiment verwendet, um zu verstehen, warum die Impedanz eines elektromagnetischen Geräts, das nahe der Resonanz arbeitet, nicht in einen einzigen äquivalenten Widerstand, eine Kapazität und eine Induktivität zerlegt werden kann. Gedankenexperimente wie das Kondensator-Paradoxon sind wertvoll, um unser Verständnis der Elektromagnetik zu erweitern und die Ergebnisse unserer Modelle zu interpretieren.

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