Modellierung der Absorption und Streuung von kollimiertem Licht

Wenn ein kollimierter Lichtstrahl, etwa von einem Laser, auf ein halbtransparentes Medium trifft, kann er sowohl absorbiert als auch gestreut werden. Das bedeutet, dass das einfallende Licht sowohl in Wärmeenergie umgewandelt als auch umgeleitet wird. Unter bestimmten Annahmen können diese Phänomene mithilfe einer diffusiven Annäherung in der Software COMSOL Multiphysics^® modelliert werden. Dieser Modellierungsansatz kann bei der Laser-Erwärmung von lebendem Gewebe sowie bei der Materialbearbeitung eingesetzt werden.

Definition eines halbtransparenten Mediums

Ein halbtransparentes Medium ist ein Material, durch das ein Lichtstrahl eine gewisse Strecke zurücklegen kann, bevor er aufgrund einer Kombination aus Absorption und Streuung ausgelöscht wird. Absorption bezeichnet den Mechanismus, durch den die Lichtenergie in Wärmeenergie umgewandelt wird, was zu einem Temperaturanstieg führt. Streuung nennt man den Mechanismus, durch den das Licht in andere Richtungen umgeleitet wird. Die Streuung von Licht kann in vielen Formen auftreten: Das ein Extrem ist die Spiegelreflexion und -brechung, die an den Oberflächen von Spiegeln und Dielektrika auftritt, beim anderen Extrem kann es zu einer nahezu isotropen Streuung kommen, wie sie in einem trüben Medium wie sehr schlammigem Wasser beobachtet wird, wo die Trübung auf kleine Schwebeteilchen zurückzuführen ist, die zufällig geformt und ausgerichtet sind.

Ein kollimierter Lichtstrahl, der auf ein semitransparentes Medium trifft, kann isotrop gestreut werden, was bedeutet, dass das Licht in alle Richtungen gleichermaßen umgeleitet wird. Diese Streuung tritt überall entlang der Bahn des Strahls auf, und das gestreute Licht wird selbst sofort erneut gestreut, daher stellt dieses Bild eine vereinfachte Abbildung des Prozesses dar.

Dabei ist zu beachten, dass im Grunde alle realen Materialien eine gewisse anisotrope Streuung aufweisen, sodass das Licht bevorzugt in bestimmte Richtungen umgelenkt wird. Bei einigen Anwendungen kann die Streuung jedoch als isotrop angenommen werden, was wir im Folgenden auch tun werden. Wir betrachten einen kollimierten Lichtstrahl, einen Laserstrahl, der auf ein Material auftrifft, bei dem ein isotroper Streuungskoeffizient und ein isotroper Absorptionskoeffizient die Änderung der Lichtintensität quantifizieren.

Entwicklung der Modellierungsmethode

Um den Modellierungsansatz zu verstehen, gehen wir zunächst davon aus, dass wir ein Material nur mit Absorption, also ohne Streuung, haben. Dieses Szenario kann mit dem Interface Radiative Beam in Absorbing Media des Heat Transfer Module modelliert werden, das das Beer-Lambert-Gesetz innerhalb des Materials löst. Bei Verwendung dieses Interfaces wird davon ausgegangen, dass die Strahlintensität am beleuchteten Rand bekannt ist. Das heißt, bei einem Lichtstrahl mit bekannter Leistung, der sich durch den umgebenden freien Raum ausbreitet, basiert die angegebene Intensität auf dem Anteil des Lichts, der sich in das Material ausbreitet.

Die Gleichung, die von diesem Interface gelöst wird, lautet:

wobei \mathbf{e}_i der Vektor, der die Richtung des Strahls beschreibt, und I_i die Lichtstärke als Leistung pro Flächeneinheit, gemessen in der Ebene senkrecht zum Strahlengang, ist. Es kann mehrere verschiedene räumlich überlappende einfallende Strahlen geben, und für jeden wird eine Gleichung, indiziert durch i, gelöst. Der Ausdruck \kappa ist der Absorptionskoeffizient, der angibt, wie diese Strahlen absorbiert werden. Die absorbierte Energie ist die Summe aller einfallenden Strahlen: Q_r = \kappa \sum_i I_i. Bei diesem Interface wird davon ausgegangen, dass die gesamte absorbierte Lichtenergie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Wir können die Einstellungen des Interfaces jedoch leicht ändern, um auch die Streuung zu berücksichtigen.

Ein Streukoeffizient ungleich null, \sigma_s, kann dem im Interface Radiative Beam in Absorbing Media verwendeten Absorptionskoeffizienten hinzugefügt werden: \kappa_{tot} = \kappa + \sigma_s. Die absorbierte Energie kann nun in einen absorbierten Teil,
\kappa/\kappa_{tot}, und einen gestreuten Teil, \sigma_s/\kappa_{tot} , zerlegt werden.

Nun berechnen wir, wie sich der gestreute Anteil dieses Lichts durch das Medium ausbreitet, wobei berücksichtigt wird, dass er überall sowohl absorbiert als auch neu gestreut wird. An dieser Stelle wird das Interface Radiation in Absorbing-Scattering Media des Heat Transfer Module eingesetzt, das die P1-Approximation zur Lösung der Gleichung bietet:

wobei G die Strahlungsintensität des Lichts pro Steradiant ist, was berücksichtigt, dass das Licht in alle Richtungen geht, nicht nur in eine einzige Richtung. Die Umwandlung von Licht in Wärmeenergie wird durch den Ausdruck -\kappa G auf der rechten Seite quantifiziert, was zu einer Verringerung der Strahlungsintensität führt. Der Quellterm, Q, führt zu einer volumetrischen Zunahme der Strahlungsintensität und stammt in diesem Fall aus dem Streufraktionsanteil der Verluste, die über das Interface Radiative Beam in Absorbing Media berechnet wurden; also, Q = \frac{\sigma_s}{\kappa_{tot}}Q_r.

Neben der Gleichung benötigen wir auch eine Reihe von Randbedingungen für das Material, wenn wir das Streulicht berechnen. Da das einfallende Laserlicht in das Gebiet eindringen kann, kann auch davon ausgegangen werden, dass das Streulicht das Modellierungsgebiet verlassen kann. Das Feature Semitransparent Surface ist für diesen Fall geeignet und ermöglicht die Eingabe eines Emissionsgrades, \epsilon, und einer diffusen Transmissivität, \tau_d. Diese beiden Größen müssen kleiner oder gleich eins sein und definieren eine diffuse Reflektivität \rho_d = 1-\epsilon – \tau_d. Streulicht, das auf diesen Rand trifft, wird vollständig durchgelassen, wenn \tau_d = 1, und, falls \tau_d < 1, dann wird das Licht teilweise diffus in das Gebiet zurückreflektiert.

Details zur Implementierung

Um ein solches Modell innerhalb von COMSOL Multiphysics^® zu implementieren, können wir eine Kombination aus dem Interface Radiative Beam in Absorbing Media und dem Interface Radiation in Absorbing-Scattering Media verwenden. Das Erstere muss nur für ein Teilgebiet um den Weg des einfallenden Strahls gelöst werden. Innerhalb des Interfaces Radiative Beam in Absorbing Media muss der Absorptionskoeffizient so angepasst werden, dass er sowohl den Streu- als auch den Absorptionskoeffizienten enthält. Bei der Auswertung der Ergebnisse ist es daher wichtig, die absorbierte Wärme um den absorbierten Anteil zu reduzieren.

Berücksichtigung der Absorption und Streuung von kollimiertem Licht über den Absorption coefficient des Interfaces Radiative Beam in Absorbing Media.

Das Interface Radiation in Absorbing-Scattering Media ermöglicht es uns, 1) den Absorptions- und Streukoeffizienten separat hinzuzufügen und 2) unter Verwendung des Features Radiative Source einen Quellterm hinzuzufügen, der den gestreuten Anteil der absorbierten Wärme aus dem Interface Radiative Beam in Absorbing Media ermittelt.

Kopplung des Streulichts vom Interface Radiative Beam in Absorbing Media mit dem Interface Radiation in Absorbing-Scattering Media.

Bei der Auswertung der Ergebnisse können insbesondere die Integrale der Wärmeverluste des einfallenden Strahls, die Wärmeverluste des Streulichts und der Anteil des einfallenden Strahls und des Streulichts, der das modellierte Gebiet verlässt, aufschlussreich sein. Die folgenden Plots und Tabellen zeigen die Verteilung dieser Verluste sowie die Integrale. Die Verteilung der Verluste kann anschließend im Rahmen einer Wärmetransport-Analyse zur Berechnung der Temperaturschwankungen verwendet werden.

Verteilung der Wärmequellen, die durch den einfallenden Strahl (links) und das gestreute Licht (rechts) entstehen. Die Summe dieser Quellen trägt zu einem Temperaturanstieg bei.

Tabelle der Integrale von Wärme- und Strahlungsverlusten. Die Summe dieser sollte der Leistung im einfallenden Strahl entsprechen.

Vorbehalte und Schlussbemerkungen

Wie wir gesehen haben, ist die Umsetzung eines Modells der Absorption und Streuung von Licht recht einfach, aber es ist wichtig zu betonen, dass diese Methode zwei Einschränkungen hat: Einerseits kann keine spiegelnde Reflexion oder Brechung von Licht innerhalb des Materials berücksichtigt werden, wie durch einen Spiegel oder eine Linse, sodass nur ein einigermaßen homogenes Materialstück modelliert werden kann. Andererseits wird angenommen, dass die Streuung innerhalb des Mediums isotrop ist. Diese Einschränkungen werden durch den Vorteil der einfachen Berechnung ausgeglichen: Die Lösung von zwei Reihen von Skalargleichungen für die kollimierte und gestreute Lichtintensität ist mit sehr geringem Rechenaufwand verbunden. Darüber hinaus lassen sich die Quellterme leicht mit einer thermischen Analyse kombinieren, um den Temperaturanstieg zu berechnen. Wenn Sie also die Wechselwirkung von Laserlicht mit einer einigermaßen gleichmäßigen Probe eines halbtransparenten Materials modellieren und von isotroper Streuung ausgehen können, ist dieser Ansatz aufgrund seiner Effizienz empfehlenswert.

Nächster Schritt

Probieren Sie das in diesem Blog-Beitrag vorgestellte Modell selbst aus, indem Sie auf die Schaltfläche unten klicken, die Sie zur Application Gallery führt: